Koreksi Terhadap Rumus ABC__Analitik & Numerik


Nasib rumus abc, walau tidak mirip, mungkin seperti Hukum Newton yang dulunya begitu digdaya, tetapi kemudian menjadi terbatas dan dikategorikan klasik, dan dalam ilmu fisika memilahnya sebagai kajian mekanika klasik, setelah munculnya mekanika kuantum, yang lebih modern. Atau seperti terbatasnya persamaan Gas Ideal PV = nRT, ketika tidak bisa menjelaskan gas Riil, sehingga muncul Persamaan Gas Riil Van der Walls.
————————————————————————————alifis@corner

Beberapa minggu lalu, seingatq beberapa rekan fisika sedikit ber-guyonpolemik (aq tak tahu kata yang bisa menggambarkan suasana saat itu) terhadap satu rekan matematika, tentang ‘matematika yang tidak termasuk ilmu sains’ sehingga nama MIPA dulu muncul sebagai penggabungan domain matematika dan domain ilmu pengetahuan alam (fisika, kimia dan biologi). Aq tidak hendak membahas ini, para pendahulu tentu yang lebih tahu.

Tapi, yang aq tahu, matematika adalah tools, atau ilmu alat yang sangat penting dalam memahami fenomena fisika, sehingga dalam fisika ada matakuliah seperti fisika matematika (fismat), fisika komputasi (fiskom), atau ada yang menyebut matematika fisika (matfis) dan komputasi fisika (komfis). Aq juga tidak hendak urus bahasa bolak-balik ini di tulisan ini, karena masing-masing penganutnya punya alasan filosofisnya, hehe…

Pada tulisan pertama ini, aq coba uraikan sepenggal deskripsi tentang kedudukan metode analitik & komputasi numerik di bidang terapan, dan diakhir tulisan ada uji pertama sebagai bukti bahwa rumus abc tidak akurat.

Kedudukan Metode Analitik dan Komputasi Numerik dalam Sains Terapan

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang Fisika, Kimia, Biologi, bahkan Ekonomi, atau pada persoalan rekayasa, seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Dalam hal ini, pemodelan pada sistem fisis bisa didefinisikan sebagai sebuah formula atau persamaan yang menyatakan perilaku dari suatu fenomena fisika dalam bentuk pernyataan matematika. Pernyataan ini secara aktual bisa meliputi bentuk hubungan aljabar sederhana sampai persamaan diferensial yang begitu rumit.

Hal yang harus dikerjakan antara lain dengan mencermati lingkup persoalan, melakukan pemilahan atas variabel serta parameter yang primer dan sekunder, serta menetapkan suatu model, yang dinilai cukup sederhana untuk analisis selanjutnya, tetapi sekaligus cukup realistis untuk menggambarkan keadaan dalam realitas. “Great engineering is simple engineering”.

Pada aplikasi sistem kontrol industri dan laboratorium, bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan
adalah perhitungan “waktu nyata” (real time computing), yaitu perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam proses kontrol seperti sistem kontrol proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya.

Dukungan Hardware dan Software

Dengan perkembangan prosesor saat ini yang revolusioner, baik dari sisi kecepatan eksekusi data dan kontrol, space memori yang semakin besar, dan harga yang semakin terjangkau, kehadiran komputer menjadi sangat essensial di dalam aktivitas saintis. Bukan hanya hardware yang berevolusi secara dramatis, proses pertumbuhan software juga bertransformasi secara radikal beberapa tahun terakhir. Pemrograman komputasi numerik dalam skala besar pun sudah bukan hal yang merepotkan lagi, seperti yang terjadi pada dekade awal dengan kendala keterbatasan memori, dan eksekusi program yang amat lambat. Demikian juga pada perkembangan yang cepat di dalam metode numerik antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode.

Perkembangan-perkembangan ini, secara tidak langsung, sedikit demi sedikit mereduksi cara-cara penyelesaian analitik dan lebih dipilihnya komputasi numerik dalam teknologi terapan apapun.

Bagaimana pemodelan di ilmu Fisika ?

Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen. Walaupun dengan potensi utilitas terbaik terutama komputer, tanpa pemahaman fundamental bagaimana piranti bekerja maka tidak ada gunanya.

Berbicara ilmu fisika sendiri, anda bisa mencoba menyelami rumusan-rumusan diatas ! Didalamnya terdapat Persamaan Newton, Persamaan Schrodinger, Persamaan Navier-Stokes, Persamaan Poisson, Laju Aliran Kalor, Persamaan Helmholtz, Transformasi Fourier, Persamaan Maxwell, Fungsi Partisi, Dinamika Populasi, Hukum Termodinamika, Radioaktivitas Nuklir, bahkan Hukum Ekonomi dan lain-lain

Terlihat bahwa model matematisnya terbentuk tidak sederhana secara analitik, dan solusinya terkait dengan bentuk-bentuk persamaan diferensial biasa berbagai orde dengan keterkaitan berbagai keadaan awal dan keadaan batas, persamaan diferensial parsial, integrasi, persamaan linear simultan atau matriks, atau finding roots, dll.
Nah, berbicara finding roots atau pencarian akar-akar persamaan ( apakah polinomial atau khususnya kuadrat inilah) yang membawa qt pada rumusan abc…jreng-jreng !!!

Dalam proses komputasi, berkurangnya kecermatan dari hasil akhir, seperti pada kasus kesalahan inherent, truncation dan round off, dapat menyelinap masuk pada saat yang tidak diperkirakan. Efek dari pembulatan(round off) bisa diminimalisir dengan merubah algoritma komputasi walaupun hal ini harus dipikirkan dan direncanakan kasus demi kasus.

Beberapa strategi yang digunakan termasuk:
1) Menggunakan presisi ganda (Double precision [McCracken])
2) Melakukan pengelompokan (Grouping)
3) Ekspansi Taylor ( Taylor expansions)
4) Merubah definisi variabel-variabel
5) Menuliskan kembali persamaan untuk menghindari pengurangan

Uji pertama Rumus abc tidak akurat ?

Aspek komputasi numerik dapat memberikan pandangan lain atas akurasi formula abc pada beberapa variasi konstantanya. Untuk menentukan akar persamaan kuadrat pada nilai mutlak terbesar, maka rumus abc klasik, adalah :

Misalnya ditinjau persamaan 0.01x^2 + 111,11x + 1,2121 . Dengan menggunakan rumus abc klasik dan aritmetika floating point pemenggalan sampai lima angka desimal dan sepuluh angka desimal, dapat dihitung:

Anda dapat lihat ketika menggunakan rumus abc ‘klasik’, hasilnya x1=-0.00000 (5 angka desimal) atau – 0.0000010909 (10 angka desimal), padahal dalam kenyataannya x1=–0.01091 (5 angka desimal) atau – 0.0109090198 (10 angka desimal) sebagai akar yang tepat. (kalau anda tidak percaya, coba uji dengan mensubtitusikan kembali nilai x1 ke persamaan kuadrat asalnya !)

Hilangnya angka-angka signifikan pada kasus ini bisa dihindari dengan menggunakan rumus alternatif (sebagai rumus tandingan, yang akan diturunkan di tulisan kedua) untuk menghitung akar pada nilai mutlak terbesar, yakni:

yang akan memberikan hasil dengan cermat.

Kalau qt cek dengan software Mathematica, didapat
—————————————————————————————————
Plot[0.01 x^2+111.11 x+1.2121,{x,-12000,1000}]

-Graphics-

NSolve[0.01 x^2+111.11 x+1.21210,x]
{{x -> -11111.},{x -> -0.010909}}
—————————————————————————————————-
Kalau qt cek dengan Microsoft Mathematics, hasilnya :

Coba anda cek, pola formulasi yang dipakai microsoft mathematics, yang tidak juga mengikuti pola rumus abc klasik. tapi mengikuti ekivalensinya dengan formulasi berikut :

Lebih lanjut, kalau kita lakukan uji, misalnya dilakukan empat uji dengan melakukan variasi pada konstanta a, yaitu a = 0,01; a=1; a = 3; dan a = 100, ternyata memberikan hasil yang akurat pada formula alternatif untuk semua uji, sedangkan formula abc yang biasanya hanya akurat pada uji kedua, yaitu saat a=1.

Capra-Canale (1998) menekankan aspek penting yang harus selalu dijadikan perhatian terhadap data komputasi adalah presisi (precision)dan akurasi (accuracy). Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan terhadap harga sebenarnya dan presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran dan penyebaran dari nilai-nilai yang didapatkan.

Satu contoh diatas adalah bukti awal dari ketidakakuratan rumus abc ‘klasik’, tapi pada tulisan 02 dan 03 pembaca akan disuguhkan bukti-bukti lanjutannya. Slamat membaca !!!

About these ads

Tentang alifis

penyuka ilmu, baik yang remah2 atau terkuantisasi. penikmat hidup dalam aliran harmoni dan ketenangan.... penikmat tantangan dalam dinamisasi dan idealisasi....
Tulisan ini dipublikasikan di aQ berPole-MIX, as CIVITAS dan tag , , , , . Tandai permalink.

3 Balasan ke Koreksi Terhadap Rumus ABC__Analitik & Numerik

  1. Muflikah Ahmadi berkata:

    yaahhh….saya salut utk orang2 yg msh mau berfikir n bergelut dlm ilmu2 murni yg terkadang kita sebagai hanya pemakai tp bukan sbg penemu.., sebetulnya org2 indon itu pinter2 cerdas.. tp karena dr pemerintah terkadang tdk ada apresiasinya jd berbalik malas,, itu yg salah.,, nah ini perlu dapat hadiah nobel mestinya , cobalah di lirik n di usulkan utk di persoundingkan di tgkt dunia., kl ada ralat rumus abc sep ini.., biar seluruh dunia tau rimus abc ada ralat yg akurat….

  2. aljo berkata:

    durung mudeng kang,,,,, aku fisika pendidikan,,,,,

  3. Muhammad Kholidi berkata:

    Mantabs

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s